Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Электромагнетизм

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

Вывод

Закон Ампера гласит

Взяв дивергенцию от обеих частей выражения, получим

,

но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

По теореме Гаусса

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Интерпретация

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

Теория волн

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

где  — вектор плотности потока энергии в точке с координатами в момент времени ,  — плотность энергии.

Вывод

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, то есть , а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,

По закону сохранения энергии , где  — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энергия единицы объема, тогда полная энергия, заключенная в данном объеме, равна

Тогда выражение для потока энергии примет вид

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

Гидродинамика

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

,

где  — плотность жидкости (или газа),  — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид

,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(x, t) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

где j — ток вероятности.